一文搞懂考研数列极限问题(概念/计算/证明)史上最强/最全总结

数列极限，是数列和极限两个充满不确定性的概念相混合，容易让人产生摸不着头脑，看到题目就害怕的感觉，本篇文章就按以下目录对这块儿重难点拨云见日，内容循序渐进，越往后越精彩，大家可以自行感受一下！

01 什么是数列 02 数列的极限 03 数列极限的计算(三种类型) 04数列相关证明题(两种类型)

从字面意思就可以看出来：数列数列，就是将数排成队列。详细点来说，就是将一堆数按照某种规律排成一排，p.s.类似军训，教官让我们按照从矮到高(某种规律)排成一排。 这时，有个数在开小差，教官就开始点名了。还记得我们当时军训时教官是怎么点名的么?

“第m排第n列,请出列”——这耳熟能详的语句。

由于我们的数只有一列，所以我们就变成了，“第n个数请出列”。为了描述方便我们用符号 x n x_{n} xn​ 表示，含义为第n个数，于是就有 x 1 = 1 2 ， x 4 = 1 16 ， x 5 = 1 32 x_{1}=\frac{1}{2} ， x_{4}=\frac{1}{16} ， x_{5}=\frac{1}{32} x1​=21​，x4​=161​，x5​=321​。如果可以用某个含n的式子来表示 x n x_{n} xn​ ，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，例如本文举例的数列，它的通项公式就是： x n = 1 2 n x_{n}=\frac{1}{2^{n}} xn​=2n1​ 。有了它，我们就可以快速get这一列数中的每一个数，是不是很方便。

但是，人总是贪心的。所以一定会有人问：“你不是说每一项你都知道么？那么第无穷项是多少呢？”这个时候就涉及到了数列的极限。

针对刚刚的问题——数列{ x n x_{n} xn​ }的“无穷项”是多少？即当 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞ 时， x n x_{n} xn​ 趋近于多少。可见这是一个极限问题，用数学式来表示：

lim ⁡ n → ∞ x n = ? \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=? limn→∞​xn​=?

上式的结果，有些是可预测的（可计算出结果），有些是不可预测的（结果不确定），如下：

例如： （1） ( − 1 ) n ： − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 … … { (-1)^{n} }： -1,1,-1,1,-1,1…… (−1)n：−1,1,−1,1,−1,1……

（2） l n ( n ) : l n 1 , l n 2 , l n 3 ， … … { { ln(n) } } : ln1,ln2,ln3，…… ln(n):ln1,ln2,ln3，……

（3） 1 2 n ： 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 1 16 … … {\frac{1}{2^{n}} } ： \frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{1}{8}，\frac{1}{16}…… 2n1​：21​，41​，81​，161​……

数列(1)，在-1和1间摇摆不定，"第无穷项"鬼知道是1还是-1，因此极限不存在；

数列(2)，随n增大， x n x_{n} xn​ 也无限制地增大，增大到无穷时，无法用一个具体的数来表示，其极限也不存在。对于数列(1)和(2)，我们称其为发散数列，或称这个数列是发散的。

数列(3)，随n增大，每一项的分母都会无限制的增大，进而每一项会越来越小，最终 n → ∞ , x n → 0 ( 1 ∞ ) n\rightarrow \infty ,x_{n}\rightarrow0(\frac{1}{\infty}) n→∞,xn​→0(∞1​) ，所以此时我们可以预测在“第无穷项”处，数列的值趋近于0，这个时候我们也称数列（3）收敛。

所以可知，当 lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=A limn→∞​xn​=A 的时候，数列的“第无穷项”我们是可以预测出来的，此时这个数列 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​} 也是收敛的。最终得到下面的关系：

{ x n } 收敛 ↔ lim ⁡ n → ∞ x n 存在 ↔ lim ⁡ n → ∞ x n = A \left\{ x_{n} \right\}收敛\leftrightarrow\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}存在\leftrightarrow\lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=A {xn​}收敛↔limn→∞​xn​存在↔limn→∞​xn​=A

极限趋近的数学表达式： n → ∞ ， x n → A n\rightarrow \infty， x_{n}\rightarrow A n→∞，xn​→A ，用大白话讲就是：当n趋近无穷大时， x n x_{n} xn​ 与A的距离越来越近。而衡量两个数的距离远近，用绝对值来表示，就是 ∣ x n − A ∣ \left| x_{n}-A \right| ∣xn​−A∣ 。所以该语句套上数学的外衣就是 n → ∞ n\rightarrow\infty n→∞， ∣ x n − A ∣ → 0 \left| x_{n}-A \right|\rightarrow0 ∣xn​−A∣→0 ，当然这句话也可以换一种说法，既然 ∣ x n − A ∣ → 0 \left| x_{n}-A \right|\rightarrow0 ∣xn​−A∣→0 那么也就是说 ∣ x n − A ∣ \left| x_{n}-A \right| ∣xn​−A∣ 要多小有多小，即它比所有的正数都小，这就引出了很多教材常见的写法：

设{ x n x_n xn​ }为实数数列，A 为定数，若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有 ∣ x n − A ∣ < ε ∣{ x_n }-A∣xn​} 单调。

证明：假设 x 1 ＞ x 2 x_{1}＞x_{2} x1​＞x2​ ，则带入函数中， f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 ) ⇒ x 2 ＞ x 3 ⇒ . . . ⇒ x n ＞ x n + 1 f(x_{1})＞f(x_{2})\Rightarrow x_{2}＞x_{3}\Rightarrow...\Rightarrow x_{n}＞x_{n+1} f(x1​)＞f(x2​)⇒x2​＞x3​⇒...⇒xn​＞xn+1​ 即 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​} 为递减数列

同理：当 x 1 ＜ x 2 x_{1}＜x_{2} x1​＜x2​ 时，能推出即 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​} 为递增数列

b.若f(x)是单调递减，那么数列 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​}为振荡数列。

证明：假设 x 1 ＞ x 2 x_{1}＞x_{2} x1​＞x2​，则带入函数中，

f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ⇒ x 2 ＜ x 3 ⇒ x 3 ＞ x 4 ⇒ x 4 ＜ x 5 . . . f(x_{1})＜f(x_{2})\Rightarrow x_{2}＜x_{3}\Rightarrow x_{3}＞x_{4}\Rightarrow x_{4}＜x_{5} ... f(x1​)＜f(x2​)⇒x2​＜x3​⇒x3​＞x4​⇒x4​＜x5​... 可推知其为振荡数列。

c.若f(x)不单调，但 x n x_{n} xn​ 在其单调增区间内，那么依然有 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn​}单调。

证明过程和a类似，这里就不再证明啦！！

所以既有如下图所示的证明流程思路：

接着就可以用以上的流程开始做题了，具体题目如下所示哈：

相关例题：

上面两题即是常见单调数列证明收敛的手法，即单调有界法！！说白了就是证明两点：1.单调；2.有界。

注：也可以通过证明数列单调递增有上界或者单调递减有下界，同样能证明出数列收敛。

下面来看下振荡数列如何证明其收敛

上面两题即是当数列不单调时证明其收敛的手法。其难点在于第二步，如何找到对应的A和B。其中，A是数列最终收敛于的数，因此这里我们先假定 x n x_{n} xn​收敛，有 lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=A limn→∞​xn​=A ，这样就可以将 x n + 1 = f ( x n ) x_{n+1}=f(x_{n}) xn+1​=f(xn​) 左右取极限，即 n → ∞ ， x n + 1 = f ( x n ) ⇒ A = f ( A ) n\rightarrow\infty， x_{n+1}=f(x_{n})\Rightarrow A=f(A) n→∞，xn+1​=f(xn​)⇒A=f(A) 便可以解出A的值。接着我们构造 ∣ x n + 1 − A ∣ \left| x_{n+1}-A \right| ∣xn+1​−A∣ ，并将 x n + 1 = f ( x n ) x_{n+1}=f(x_{n}) xn+1​=f(xn​) 带入，之后有 ： ∣ f ( x n ) − A ∣ \left| f(x_{n})-A \right| ∣f(xn​)−A∣ ，此时想办法往 B × ∣ x n − A ∣ B\times\left| x_{n}-A \right| B×∣xn​−A∣ 去变化，如果变化出来的式子小于B小于1，那么就有递推式： ∣ x n + 1 − A ∣ < B ∣ x n − A ∣ < B 2 ∣ x n − A ∣ . . . < B n ∣ x 1 − A ∣ \left| x_{n+1}-A \right|